Une introduction douce aux dérivées de puissances et de polynômes

L'une des fonctions les plus fréquemment utilisées dans les algorithmes d'apprentissage automatique et de science des données sont les polynômes ou les fonctions impliquant des puissances de x. Il est donc important de comprendre comment sont calculées les dérivées de telles fonctions.

Dans ce tutoriel, vous découvrirez comment calculer la dérivée des puissances de x et des polynômes.

Après avoir terminé ce tutoriel, vous saurez :

Règle générale pour calculer la dérivée des polynômes
Règle générale pour trouver la dérivée d'une fonction qui implique des puissances réelles non nulles de x

Commençons.

Présentation du didacticiel

Ce didacticiel est divisé en deux parties ; ils sont:

La dérivée d'une fonction qui implique des puissances entières de x
Différenciation d'une fonction qui a une puissance réelle non nulle de x

Dérivée de la somme de deux fonctions

Commençons par trouver une règle simple qui régit la somme de deux fonctions. Supposons que nous ayons deux fonctions f(x) et g(x), alors la dérivée de leur somme peut être trouvée comme suit. Vous pouvez vous référer à la définition du dérivé, au cas où vous auriez besoin de la revoir.

Nous avons ici une règle générale qui dit que la dérivée de la somme de deux fonctions est la somme des dérivées des fonctions individuelles.

Dérivée de puissances entières de x

Avant de parler des dérivées des puissances entières de x, passons en revue le théorème du binôme, qui nous indique comment développer l'expression suivante (ici C(n,k) est la fonction choisie) :

(a+b)^n=a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + … + C(n, n-1)ab^(n-1) + b^n

Nous allons dériver une règle simple pour trouver la dérivée d’une fonction qui implique x^n, où n est un entier et n>0. Revenons à la définition d'une dérivée discutée dans ce tutoriel et appliquons-la à kx^n, où k est une constante.

Voici quelques exemples d’application de cette règle :

La dérivée de x^2 est 2x
La dérivée de 3x^5 est 15x^4
La dérivée de 4x^9 est 36x^8

Comment différencier un polynôme ?

Les deux règles, c'est-à-dire la règle de la dérivée de la somme de deux fonctions et la règle de la dérivée d'une puissance entière de x, permettent de différencier un polynôme. Si nous avons un polynôme de degré n, nous pouvons le considérer comme une somme de fonctions individuelles impliquant différentes puissances de x. Supposons que nous ayons un polynôme P(x) de degré n, alors sa dérivée est donnée par P'(x) sous la forme :

Cela montre que la dérivée du polynôme de degré n, est en fait un polynôme de degré (n-1).

Exemples

Quelques exemples sont présentés ci-dessous, où la fonction polynomiale et ses dérivées sont toutes tracées ensemble. La courbe bleue montre la fonction elle-même, tandis que la courbe rouge est la dérivée de cette fonction.

Qu’en est-il des puissances non entières de x ?

Les règles dérivées ci-dessus s'étendent aux puissances réelles non entières de x, qui peuvent être des fractions, des nombres négatifs ou des nombres irrationnels. La règle générale est donnée ci-dessous, où a et k peuvent être n'importe quel nombre réel différent de zéro.

f(x)=kx^a

f'(x)=kax^(a-1)

Quelques exemples sont :

La dérivée de x^(0,2) est (0,2)x^(-0,8)
La dérivée de x^(????) est ????x^(????-1)
La dérivée de x^(-3/4) est (-3/4)x^(-7/4)

Voici quelques exemples, tracés avec leurs dérivées. Encore une fois, la courbe bleue désigne la fonction elle-même et la courbe rouge désigne la dérivée correspondante :

Rallonges

Cette section répertorie quelques idées pour étendre le didacticiel que vous souhaiterez peut-être explorer.

Règles pour les dérivées du produit de deux fonctions
Règles pour les dérivées de fonctions rationnelles
Intégration

Si vous explorez l’une de ces extensions, j’aimerais le savoir. Postez vos découvertes dans les commentaires ci-dessous.

Lectures complémentaires¶

Cette section fournit plus de ressources sur le sujet si vous souhaitez approfondir.

Tutoriels

Limites et continuité
Évaluation des limites
Produits dérivés

Ressources¶

Ressources supplémentaires sur les livres de calcul pour l'apprentissage automatique

Livres

Thomas’ Calculus, 14e édition, 2017. (basé sur les œuvres originales de George B. Thomas, révisées par Joel Hass, Christopher Heil, Maurice Weir)
Calcul, 3e édition, 2017. (Gilbert Strang)
Calcul, 8e édition, 2015. (James Stewart)

Résumé

Dans ce didacticiel, vous avez découvert comment différencier une fonction polynomiale et des fonctions impliquant une somme de puissances non entières de x.

Concrètement, vous avez appris :

Dérivée de la somme de deux fonctions
Dérivée d'une constante multipliée par une puissance entière de x
Dérivée d'une fonction polynomiale
Dérivée d'une somme d'expressions impliquant des puissances non entières de x

Avez-vous des questions ?

Posez vos questions dans les commentaires ci-dessous et je ferai de mon mieux pour y répondre.